เรื่องเล่าฉบับย่อของ
จำนวนเชิงซ้อน
A brief story of complex numbers
เก็บสรุปคณิต ม.4-6
เตรียมสอบ NETSAT & A-Level 67
@trongjaitutor
@trongjaikku
มนุษย์เริ่มรู้จักการนับจำนวนสิ่งของต่าง ๆ โดยใช้จำนวนนับ 1, 2, 3, ... แทนจำนวนสิ่งของ และใช้จำนวนศูนย์ 0 แทนการไม่มี จำนวนนับนี้เรียกอีกอย่างว่า
“จำนวนธรรมชาติ”
เมื่อพวกเรารู้จักการเพิ่มลด และ การบวกลบ เราจึงพบว่า จำนวนนับกับศูนย์ไม่เพียงพอที่จะตอบคำถามนี้
2 - 4 = ?
เพื่อแก้ปัญหานี้ จำนวนเต็มลบจึงเกิดขึ้น และเราจึงได้มีระบบจำนวนเต็ม
..., -2, -1, 0 , 1, 2, ...
@trongjaitutor
@trongjaikku
ต่อมา เมื่อพวกเรารู้จักการคูณและการหาร ระบบจำนวนเต็มที่เรามีอยู่ ไม่เพียงพอที่จะตอบคำถามนี้
2 4 = ?
ซึ่งคำตอบของสมการนี้คือ 0.5 หรือ 2/4 ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม
ระบบจำนวนตรรกยะจึงได้เกิดขึ้น โดยที่ “จำนวนตรรกยะ” คือ จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ โดยทั้งเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม และส่วนไม่เป็นศูนย์
@trongjaitutor
@trongjaikku
ก่อนยุคพีทาโกรัส เราเชื่อกันว่า ทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ คือสามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้
จนกระทั่ง ฮิปปาซุส (Hippasus) ลูกศิษย์คนหนึ่งของพีทาโกรัส ในช่วง 530 - 450 ปีก่อนคริสตกาล ได้ค้นพบจำนวนที่ไม่เป็นตรรกยะ ในขณะที่เขาพยายามคำนวณหาความยาวด้านของเพนทาแกรม
ให้สามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวดังรูปด้านซ้าย โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ว่า ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ รากที่สองของ 2 ซึ่งพิสูจน์ได้ว่า ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ
@trongjaitutor
@trongjaikku
เราเรียกระบบที่มีจำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะนี้ว่า
“ระบบจำนวนจริง (real number)”
x = ?
@trongjaitutor
@trongjaikku
จากคำถามก่อนหน้านี้ เราพบว่า จำนวนจริงไม่เพียงพอที่จะแก้สมการนี้ได้ เราจึงกำหนดให้
สิ่งที่ตามมาคือ
และก่อให้เกิดจำนวนอื่น ๆ ที่อยู่ในรูปติด i นี้อีกมากมาย
@trongjaitutor
@trongjaikku
เราเรียกระบบที่มีจำนวนจริง และ จำนวนจินตภาพนี้ว่า
“ระบบจำนวนเชิงซ้อน (complex number)”
นี่แหละครับ เราจึงได้มีจำนวนเชิงซ้อนเกิดขึ้น
@trongjaitutor
@trongjaikku
สรุปความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน
การบวกลบจำนวนเชิงซ้อน
ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน
@trongjaitutor
@trongjaikku
สรุปความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน
การคูณจำนวนเชิงซ้อน
@trongjaitutor
@trongjaikku
สรุปความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (conjugate)
@trongjaitutor
@trongjaikku
สรุปความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน
การหารจำนวนเชิงซ้อน
@trongjaitutor
@trongjaikku